State and prove the Apolloniu's Theorem

Given : in ∆ABC,. AD is a median

i.e,. BD=DC

To prove : AB^2+AC^2=2AD^2+2BD^2

Construction: Draw AE _l_ BD

Proof: in ∆ABE, L AEB=90°

By Pythagoras theorem

AB^2=AE^2+BE^2   ----------->1

 In ∆ACE, L AEC =90°

AC^2=AE^2+EC^2. ------------>2

In ∆AED, L AED =90°

 

By Pythagoras theorem,

AD^2=AE^2+ED^2

2AD^2=2AE^2+2ED^2.  ---------->3

Adding 1&2 we get

AB^2+AC^2=2AE^2+BE^2. --------->4

Subtract 4&3 we  get                                             

AB^2+AC^2-2AD^2=2AE^2+BE^2+EC^2                                            -2AE^2-2ED^2   

AB^2+AC^2-2AD^2=BE^2+EC^2-2ED^2

                                =(BD-ED)^2+(ED+DC)^2-                                        2ED^2

                                =BD^2-2BD•ED+ED^2

                +ED^2+2ED•DC+DC^2-2ED^2

                                =BD^2-2BD•ED+2ED•DC

                                       +DC^2 

                                =BD^2-2BD•ED+2ED•BD

                                           +BD^2

                                 [=2BD^2]

AB^2+AC^2-2AD^2=2BD^2

     

      [ AB^2+AC^2=2BD^2+2AD^2]